Đây là một số ghi chú của mình trong quá trình học topo đại số, tài liệu tham khảo chủ yếu là cuốn An introduction to algebraic topology của Joseph Rotman. Những lời dẫn và cách hiểu của mình về các khái niệm trong bài viết được thể hiện ở dưới góc nhìn là một người mới và đang học về topo đại số nên có thể không hoàn toàn đúng. Vì vậy nếu có bất kì khuất mắt hay sai sót nào thì mọi người cứ chửi góp ý cho mình nhé.

Đại khái topo đại số là bộ môn sử dụng những công cụ đại số, cấu trúc đại số để nghiên cứu topo. Topo đại số đưa ra những tính chất bất biến dựa trên các khái niệm đại số, điển hình là nhóm cơ bản của một không gian topo. Nhóm cơ bản có thể coi là một cách để ta phát hiện ra các lỗ (genus) của một đối tượng topo. Lấy ví dụ, ta xét hình xuyến (torus) và chọn một điểm \(x_0\) cố định trên đó, sau đó ta xét tất cả các đường đi kín có điểm xuất phát và kết thúc tại \(x_0\) (như hình minh họa)

torus

Để ý về mặt trực quan, đường đi \(a_1\) có thể co giãn biến đổi liên tục để trở thành \(a_2\), thậm chí ta có thể co \(a_1\) lại hẳn thành điểm \(x_0\). Tương tự \(c_1\) có thể biến đổi liên tục thành \(c_2\), nhưng \(c_1\) không thể biến đổi liên tục để thành \(a_1\) được vì ta không thể co \(c_1\) lại thành một điểm. Vì thế đường đi \(c_1\) và \(c_2\) trên phương diện nào đó giúp ta phát hiện được “lỗ” của hình xuyến. Quan hệ \(f\) có thể biến đổi liên tục thành \(g\) được gọi là quan hệ đồng luân. Hơn nữa ta có thể định nghĩa phép toán trên tập các đường đi đó theo nghĩa với \(a,b\) là hai đường đi thì \(a*b\) là đường đi qua \(a\), sau đó qua \(b\). Lúc này ta xét tập các lớp tương đương của các đường đi đó theo quan hệ đồng luân, kèm theo phép toán được định nghĩa như trên, sẽ trở thành một nhóm. Ta gọi nhóm này là nhóm cơ bản của hình xuyến với điểm mút là \(x_0\). Để tính được nhóm cơ bản của hình xuyến không phải điều hiểu nhiên. Ta thử xét một ví dụ khác

sphere_draw

Đây là mặt cầu với điểm cố định \(x_0\). Khi đó mọi đường đi lấy \(x_0\) là điểm mút đều có thể co lại thành một điểm, tức là chúng đồng luân với nhau. Vậy nên nhóm cơ bản của mặt cầu chỉ có một phần tử, và đó chính xác là nhóm tầm thường. Bây giờ chúng ta sẽ đi vào chi tiết.

Note: Tính chất bất biến của không gian topo là tính chất không thay đổi giữa các không gian topo đồng phôi với nhau.

Định nghĩa: Cho \(f,g: X \rightarrow Y\) là hai ánh xạ liên tục. \(f\) đươc gọi là đồng luân (homotopic) với \(g\) nếu tồn tại \(F: X \times [0,1] \rightarrow Y\) liên tục thỏa \(\forall x \in X\),

\[F(x,0) = f(x) \text{ và } F(x,1) = g(x) \]

ta nói \(F\) là một đồng luân (homotopy) từ \(f\) vào \(g\), kí hiệu \(F: f \simeq g\).

Nếu ta đặt \(F_t(x) = F(x,t)\) thì khi đó ta có thể coi \(F\) là họ các hàm liên tục \(F_t: X \rightarrow Y\) thể hiện sự biến dạng từ \(F_0 = f\) sang \(F_1 = g\) với tham số thời gian \(t\).

Lưu ý rằng ta coi không gian \([0,1]\) ở đây là không gian con của \(\R\) với topo Euclid thông thường, và \(X \times [0,1]\) là không gian topo tích (product topology). Để tiện hơn thì từ giờ ta kí hiệu \(I = [0,1]\).

Định lí: Đồng luân là quan hệ tương đương trên tập các ánh xạ liên tục từ \(X \rightarrow Y\).

Chứng minh:

  • Phản xạ: Với \(f:X \rightarrow Y\) liên tục, ta định nghĩa \(F(x,t) = f(x), \forall x \in X, t \in I\). \(F\) liên tục do \(f\) liên tục. Vậy \(F: f\simeq f\).

  • Đối xứng: Với \(f,g:X \rightarrow Y\) liên tục. Giả sử \(F: f \simeq g\). Ta xét \(G(x,t) = F(x,1-t)\) liên tục. Hơn nữa \(G(x,0) = F(x,1) = g(x)\) và \(G(x,1) = F(x,0) = f(x)\). Vậy \(G: g \simeq f\).

  • Bắc cầu: Với \(f,g,h: X \rightarrow Y\). Giả sử \(F: f \simeq g\) và \(G: g \simeq h\). Đặt

    \[H(x,t) = \begin{cases} F(x,2t) & 0 \leq t \leq \frac{1}{2}\\ G(x,2t-1) & \frac{1}{2} \leq t \leq 1 \end{cases} \]

    \(H\) định nghĩa tốt do \(H(x,\frac{1}{2}) = F(x,1) = G(x,0) = g(x)\). Vì \(F\) và \(G\) liên tục nên theo bổ đề dán thì \(H\) liên tục. Ngoài ra \(H(x,0) = F(x,0) = f(x)\) và \(H(x,1) = G(x,1) = h(x)\). Vậy \(H: f \simeq g\).

Định nghĩa: Cho \(f: X \rightarrow Y\) liên tục, ta định nghĩa lớp đồng luân của \(f\) là tập các ánh xạ liên tục \(g: X \rightarrow Y\) đồng luân với \(f\), nghĩa là

\[[f] = \{g: X \rightarrow Y \text{ liên tục } | f \simeq g\} \]

Họ các lớp đồng luân như vậy ta kí hiệu là \([X,Y]\).

Định lí: Cho \(f_0,f_1: X \rightarrow Y\) và \(g_0,g_1: Y \rightarrow Z\) liên tục. Khi đó nếu \(f_0 \simeq f_1\) và \(g_0 \simeq g_1\) thì \(g_0 \circ f_0 \simeq g_1 \circ f_1\), nói cách khác \([g_0 \circ f_0] = [g_1 \circ f_1]\).

Chứng minh: Giả sử \(F: f_0 \simeq f_1\) và \(G: g_0 \simeq g_1\). Trước tiên ta sẽ đi chứng minh

\[g_0 \circ f_0 \simeq g_1 \circ f_0 \tag{*} \]

Xét \(H: X \times I \rightarrow Z\) được định nghĩa bởi \(H(x,t) = G(f_0(x), t)\). Dễ thấy \(H\) liên tục. Hơn nữa \(H(x,0) = G(f_0(x), 0) = g_0(f_0(x))\) và \(H(x,1) = G(f_0(x), 1) = g_1(f_0(x))\). Suy ra \(H: g_0 \circ f_0 \simeq g_1 \circ f_0\).

Tiếp theo ta đi chứng minh

\[g_0 \circ f_0 \simeq g_0 \circ f_1 \tag{**} \]

Thật vậy, xét \(K = g_1 \circ F: X \times I \rightarrow Z\) liên tục thỏa \(K(x,0) = g_1(F(x,0)) = g_1 \circ f_0 (x)\) và \(K(x,1) = g_1(F(x,1)) = g_1 \circ f_1 (x)\). Vậy nên \(K: g_0 \circ f_0 \simeq g_0 \circ f_1\).

Từ \((*)\) và \((**)\) suy ra \(g_0 \circ f_0 \simeq g_1 \circ f_1\) (điều phải chứng minh).

Định nghĩa: Ánh xạ liên tục \(f: X \rightarrow Y\) được gọi là một tương đương đồng luân (homotopy equivalence) nếu tồn tại \(g: Y \rightarrow X\) thỏa

\[g \circ f \simeq 1_X \text{ và } f \circ g \simeq 1_Y \]

Hơn nữa, ta nói hai không gian topo \(X\) và \(Y\) có cùng loại đồng luân nếu tồn tại một tương đương đồng luân \(f: X \rightarrow Y\).

Định nghĩa: Ta nói ánh xạ liên tục \(f: X \rightarrow Y\) là đồng luân không (nullhomotopic) nếu \(f\) đồng luân với ánh xạ hằng, tức là tồn tại \(k: X \rightarrow Y\) thỏa \(k(x) = y_0 \in Y,\forall x \in X\) sao cho \(f \simeq k\).

Định lí: Cho \(f: S^n \rightarrow Y\) liên tục. Khi đó những điều sau tương đương

\((i)\ f\) đồng luân không.

\((ii)\ f\) có thể mở rộng thành ánh xạ liên tục từ \(D^{n+1} \rightarrow Y\).

\((iii)\) Nếu \(x_0 \in S^n\) và \(k: S^n \rightarrow Y\) là hàm hằng mang giá trị tại \(f(x_0)\) thì tồn tại một đồng luân \(F: f \simeq k\) thỏa \(F(x_0, t) = f(x_0)\) với mọi \(x \in I\).

Chứng minh: \((i) \Rightarrow (ii)\): Giả sử \(F: f \simeq c\) với \(c(x) = y_0, \forall x \in S^n\). Xét \(g: D^{n+1} \rightarrow Y\) xác định bởi

\[g(x) = \begin{cases} F\left(\frac{x}{\|x\|}, 1 - \|x\|\right) & \|x\| \neq 0\\ y_0 & \|x\| = 0 \end{cases} \]

\(g\) định nghĩa tốt do với \(x \in D^{n+1}\) thì \(\|x\| \in I\), dẫn tới \(\frac{x}{\|x\|} \in S^1\) và \(1-\|x\| \in I\). Hơn nữa \(\forall x \in S^1\), \(g(x) = F(x,0) = f(x)\). Vậy \(f = g_{|S^n}\)

\((ii) \Rightarrow (iii)\): Giả sử \(g: D^{n+1} \rightarrow Y\) là mở rộng của \(f\). Ta xét \(F: S^n \rightarrow Y\) thỏa \(F(x,t) = g((1-t)x + tx_0)\). Ở đây \((1-t)x + tx_0\) là đoạn thẳng nối \(x\) và \(x_0\) nên thuộc \(D^{n+1}\) do \(D^{n+1}\) lồi. Hơn nữa \(F(x,0) = g(x) = f(x)\) và \(F(x,1) = g(x_0) = f(x_0),\ \forall x \in S^n\). Do đó \(F: f \simeq k\) với \(k: S^n \rightarrow Y\) là hàm hằng mang giá trị tại \(f(x_0)\). Cuối cùng ta có \(F(x_0, t) = f(x_0),\ \forall t \in I\).

\((iii) \Rightarrow (i)\): Chọn \(x_0\) là điểm bất kì trong \(S^n\) và xét \(k: S^n \rightarrow Y\) là hàm hằng tại \(f(x_0)\). Khi đó theo giả thiết thì tồn tại \(F: f \simeq k\). Vậy \(f\) đồng luân không.

Định nghĩa: Không gian topo \(X\) được gọi là co lại được (contractible) nếu \(1_X\) đồng luân không.

Định lí: Không gian topo \(X\) cùng loại đồng luân với không gian 1 điểm nào đó \(\Leftrightarrow X\) co lại được.

Chứng minh: Xét \(\{a\}\) là không gian 1 điểm bất kì và giả sử \(X\) cùng loại đồng luân với \(\{a\}\), tức là tồn tại \(f: X \rightarrow \{a\}\) và \(g: \{a\} \rightarrow X\) thỏa \(g \circ f \simeq 1_X\) và \(f \circ g \simeq 1_a\). Để ý \(f\) là hàm hằng tại \(a\), ta có \(\forall x \in X\), \(g \circ f(x) = g(a)\). Do đó \(g \circ f\) là hàm hằng, mà \(g \circ f \simeq 1_X\) nên \(X\) co lại được.

Ngược lại, giả sử \(X\) co lại được, tức là \(1_X \simeq c\) với \(c: X \rightarrow X,\ c(x) = c_0\ \forall x \in X\). Xét \(f: X \rightarrow \{c_0\}\) là hàm hằng và \(g: \{c_0\} \rightarrow X,\ g(c_0) = c_0\).